Hướng dẫn giải toán lớp 11: Ôn tập chương I (sgk/40)

Dưới đây là bài hướng dẫn giải toán lớp 11: Ôn tập chương I (sgk/40), mà các bạn có thể tham khảo để học tốt hơn!

Câu 1: a) Hàm số y = cos3x có phải là hàm số chẵn không? Tại sao?

            b) Hàm số y = tan(x + π/5)có phải là hàm số lẻ không? Tại sao?

Lời giải:

a) y = f(x) = cos3x là hàm số chẵn vì:

+ TXĐ: D = R ⇒ ∀ x ∈ D ta ta: –x = D

+ f(-x) = cos3(-x) = cos(-3x) = cos3x = f(x) ∀ x ∈ D

b) Ta có:

       g(-x) = tan(-x + π/5)

⇔ -g(-x) = -tan(x + π/5)

Với x = 0 thì

g(-x) = tan(π/5) ≠ -tan(π/5) = -g(-x)

⇒ g(-x) ≠ -g(x)

⇒ g(x) không phải hàm số lẻ.

Câu 2: Căn cứ vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm những giá trị của x trên đoạn [-3π/2 ; 2π] để hàm số đó:

a) Nhận giá trị bằng – 1 ;                             b) Nhận giá trị âm.

Lời giải:

Xét đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [-3π/2 ; 2π]

a) sinx = -1 ⇔ x = -π/2 hoặc x = 3π/2

(Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y = -1)

b) sinx < 0 ⇔ x ∈ (-π; 0) ∪ (π; 2π)

(Các khoảng mà đồ thị nằm phía dưới trục hoành)

Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

a) y = √(2(1 + cosx)) + 1                             b) y = 3 sin(x – π/6) – 2

Lời giải:

a) y = √(2(1 + cosx)) + 1

Ta có: ∀ x ∈ R : -1 ≤ cosx ≤ 1

⇒ 0 ≤ 1 + cosx ≤ 2

⇒ 0 ≤ 2(1 + cosx) ≤ 4

⇒ √(2(1 + cosx)) ≤ 2

⇒ y = √(2(1 + cosx)) + 1 ≤ 3

 y = 3 ⇔ cosx = 1 ⇔ x = kπ (k ∈ Z)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đạt được là 3 khi x = kπ (k ∈ Z)

b) y = 3 sin(x – π/6) – 2

Ta có: -1 ≤ sin(x – π/6) ≤ 3.1 – 2

⇒ 3.(-1) – 2 ≤ 3sin(x – π/6) – 2 ≤ 1

hay -5 ≤ y ≤ 1

 y = 1 ⇔ sin(x – π/6) =1

⇔ x – π/6 = π/2 + k2π (k ∈ Z)

⇔ x = 2π/3 + k2π (k ∈ Z)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đạt được là 1 khi x = 2π/3 + k2π (k ∈ Z)

Câu 4: Giải các phương trình sau:

a) sin(x + 1) = 2/3 ;                                      b) sin22x = 1/2 ;

c) cot2(x/2) = 1/3 ;                                        d) tan(π/12 + 12x) = -√3 .

Lời giải:

a) sin(x + 1) = 2/3

Vậy phương trình có tập nghiệm 

{arcsin(2/3) – 1 + k2π; π – arcsin(2/3) – 1 + k2π}  (k ∈ Z)

b) sin²2x = 1/2 

⇔ x = π/8 + kπ/4   (k ∈ Z)

Vậy phương trình có họ nghiệm x = π/8 + kπ/4   (k ∈ Z)

c) cot²(x/2) = 1/3  (ĐK: x/2 ≠ kπ ⇔ x ≠ k2π)   (k ∈ Z)

Vậy phương trình có tập nghiệm {±2π/3 + k2π}  (k ∈ Z)

d) tan(π/12 + 12x) = -√3

ĐK: kπ/12 + 12x ≠ π/2 +kπ

⇔ x ≠ 5π/144 + kπ/12 ∀ k ∈ Z

 tan(π/12 + 12x) = -√3

⇔ tan(π/12 + 12x) = tan(-π/3)

⇔ π/12 + 12x = -π/3 + kπ   (k ∈ Z)

⇔ 12x = -5π/12 + kπ

⇔ x = -5π/144 + kπ/12  (TMĐK)

Vậy phương trình có tập nghiệm {-5π/144 + kπ/12}  (k ∈ Z) 

Câu 5: Giải các phương trình sau:

a) 2cosx²x – 3cosx + 1 = 0 ;                          b) 25sin²x + 15sin2x + 9cos²x = 25 ;

c) 2sinx + cosx = 1 ;                                     d) sinx + 1,5cotx = 0 .

Lời giải:

a) 2cosx²x – 3cosx + 1 = 0

Vậy phương trình có tập nghiệm {k2π; ±π/3 + k2π}  (k ∈ Z)

b) 25sin²x + 15sin2x + 9cos²x = 25

⇔ 25sin²x + 15.2sinxcosx + 9cos²x – 25 = 0

⇔ -25sin²x + 30.sinx.cosx +  9cos²x = 0

⇔ 16.cos²x – 30.sinx.cosx = 0

⇔ 2cosx.(8cosx – 15sinx) = 0

(1) ⇔ 2cosx = 0

⇔ cosx = 0

⇔ x = π/2 + kπ  (k ∈ Z)

(2) ⇔ 8cosx – 15sinx = 0

⇔ 8cosx = 15sinx

⇒ sinx/cosx = 8/15

⇔ tanx = 8/15

⇔ x = arctan(8/15) + kπ  (k ∈ Z)

Vậy phương trình có tập nghiệm {π/2 + kπ; arctan(8/15) + kπ}  (k ∈ Z)

c) 2sinx + cosx = 1

⇔ (2/√5)sinx + (1/√5)cosx = 1/√5  (1)

Vì (2/√5)² + (1/√5)² = 1

nên tồn tại  thỏa mãn

(1)⇔ sinα.sinx + cosα.cosx = 1/√5

⇔ cos(x – α) = 1/√5

⇔ x – α = ± arctan(1/√5) + k2π

⇔ x = α ± arctan(1/√5) + k2π

Vậy phương trình có tập nghiệm {α ± arctan(1/√5) + k2π}  (k ∈ Z)

d) sinx + 1,5cotx = 0  (ĐK: x ≠ kπ ∀ k ∈ Z)

⇔ sinx + (3/2)(cosx/sinx) = 0

⇔ 2sin2x + 3cosx = 0

⇔ 2(1 – cos²x) + 3cosx = 0

⇔ 2cos²x – 3cosx – 2 = 0

⇔ cosx = -1/2

⇔ x = ±2π/3 + k2π (k ∈ Z)   (TMĐK)

Vậy phương trình có tập nghiệm {±2π/3 + k2π}  (k ∈ Z)

 

Bài tập trắc nghiệm

Chọn phương án đúng:

Câu 6: Phương trình cosx = sinx có số nghiệm thuộc đoạn [-π ; π] là:

(A) 2 ;                      (B) 4 ;                      (C) 5 ;                      (D) 6. 

Lời giải:

cosx = sinx 

⇒ tanx =1

⇒ x = π/4 + kπ  (k ∈ Z)

Mà x ∈ [-π; π]

⇒ x = -3π/4 hoặc x = 5π/4 

Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc [-π; π]

⇒ Chọn (A)

Câu 7: Phương trình cos4x/cos2x = tan2x có số nghiệm thuộc khoảng (0 ; π/2) là:

(A) 2 ;                      (B) 3 ;                      (C) 4 ;                      (D) 5. 

Lời giải:

Ta có:

ĐK: cos2x ≠ 0 ⇔ x ≠ π/4 + kπ/2

(1) ⇔ cos4x = sin2x

⇔ 1 – 2sin²2x = sin2x

⇔ 2sin²2x + sin2x – 1 = 0

Số nghiệm thuộc khoảng (0; π/2) là hai nghiệm x = π/12 và x = 5π/12

⇒ Chọn (A)

Câu 8: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sinx + sin2x = cosx + 2cos²x là:

(A) π/6 ;                   (B) 2π/3 ;                 (C) π/4 ;                   (D) π/3. 

Lời giải:

sinx + sin2x = cosx + 2cos²x

⇔ sinx + 2sinx.cosx = cosx.(1 + 2cosx)

⇔ sinx.(1 + 2cosx) = cosx.(1 + 2cosx)

⇔ (sinx – cosx)(1 + 2cosx) = 0

Nghiệm dương nhỏ nhất là π/4

⇒ Chọn (C)

Câu 9: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2tan²x + 5tanx + 3 = 0 là:

(A) -π/3 ;                  (B) -π/4 ;                  (C) -π/6 ;                  (D) -5π/6. 

Lời giải:

2tan²x + 5tanx + 3 = 0

Nghiệm âm lớn nhất là -π/4

⇒ Chọn (B)

Câu 10: Phương trình 2tanx – 2cotx – 3 = 0 có số nghiệm thuộc khoảng (-π/2 ; π) là:

(A) 1 ;                      (B) 2 ;                      (C) 3 ;                      (D) 4. 

Lời giải:

2tanx – 2cotx – 3 = 0  (ĐK: sinx ≠ 0; cosx ≠ 0)

⇔ 2tanx – 2/tanx – 3 = 0

⇔ 2tan²x – 3tanx – 2 = 0

Có ba nghiệm thuộc (-π/2 ; π) là {arctan2; arctan(-1/2); arctan(-1/2) + π}

⇒ Chọn (C)

 

Đó là bài hướng dẫn giải toán lớp 11: Ôn tập chương I (sgk/40), các bạn có thể tham khảo. Đừng quên xem thêm các bài giải toán khác tại chuyên mục : Toán Học lớp 11.

We on social :

Facebook