Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản
Tóm tắt kiến thức toán lớp 11 bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản
Mục lục
Dưới đây là bài tóm tắt kiến thức và hướng dẫn giải toán lớp 12 bài 1: Phương trình lượng giác cơ bản, mà các bạn có thể tham khảo để học tốt hơn!
Tóm tắt kiến thức toán hình lớp 11 bài 2
Với bài này, các bạn cần nắm được các nội dung sau
1. Phương trình sin x = a
Phương trình sinx = a có nghiệm là:
| x = a + k2π, k ∈ Z ;
x = π – a + k2π, k ∈ Z ; |
Chú ý:
a) Phương trình sin x = sin βo có các nghiệm là:
| x = βo + k.360o, k ∈ Z ;
x = 180o – βo + k.360o, k ∈ Z ; |
b) Trong một công thức về nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ là radian.
c) Các trường hợp đặc biệt:
a = 1 : Phương trình sinx = 1 có các nghiệm là:
x = π/2 + k2π, k ∈ Z
a = –1 : Phương trình sinx = -1 có các nghiệm là:
x = –π/2 + k2π, k ∈ Z
a = 0 : Phương trình sinx = 0 có các nghiệm là:
x = kπ, k ∈ Z
2. Phương trình cos x = a
Phương trình cosx = a có nghiệm là:
| x = ± a + k2π, k ∈ Z |
Chú ý:
a) Phương trình cos x = cos βo có các nghiệm là:
| x = ± βo + k.360o, k ∈ Z ; |
b) Các trường hợp đặc biệt:
a = 1 : Phương trình cosx = 1 có các nghiệm là:
x = k2π, k ∈ Z
a = –1 : Phương trình cosx = -1 có các nghiệm là:
x = –π + k2π, k ∈ Z
a = 0 : Phương trình cosx = 0 có các nghiệm là:
x = π/2 + kπ, k ∈ Z
3. Phương trình tan x = a
Phương trình tanx = a có nghiệm là:
| x = arctan a + kπ, k ∈ Z |
Chú ý:
Phương trình tan x = tan βo có các nghiệm là:
| x = βo + k.180o, k ∈ Z ; |
4. Phương trình cot x = a
Phương trình cot x = a có nghiệm là:
| x = arctan a + kπ, k ∈ Z |
Chú ý:
Phương trình cot x = cot βo có các nghiệm là:
| x = βo + k.180o, k ∈ Z ; |
Hướng dẫn giải bài tập toán lớp 11 bài 2
Bài tập trong sách: (sgk/28)
Câu 1:
Giải các phương trình sau:
a) sin(x + 2) = 1/3 ; b) sin3x = 1 ;
c) sin(2x/3 – π/3) = 0 ; d) sin(2x + 20o) = √3/2
Lời giải:
a) sin(x + 2) = ⅓
b) sin3x = 1
⇔ sin3x = sin3(π/2)
⇔ 3x = π/2 + k2π (k ∈ Z)
⇔ x = π/6 + k2π/3 (k ∈ Z)
c) sin(2x/3 – π/3) = 0
⇔ 2x/3 – π/3 = kπ (k ∈ Z)
⇔ 2x/3 = π/3 + kπ
⇔ x = π/2 + 3kπ/2 (k ∈ Z)
d) sin(2x + 20o) = √3/2
⇔ sin(2x + 20o) = sin(-60o)
Câu 2:
Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau?
Lời giải:
Ta có: sin 3x = sin x
Vậy với x ∈ {kπ; π/4 + kπ/2} (k ∈ Z) thì sin x = sin 3x
Câu 3:
Giải các phương trình sau:
a) cos(x – 1) = 2/3 ; b) cos3x = cos12o ;
c) cos(3x/3 – π/4) = -1/2 ; d) cos22x = 1/4
Lời giải:
a) cos(x – 1) = ⅔
⇔ x – 1 = ± arccos⅔ + k2π (k ∈ Z)
⇔ x = 1 ± arccos⅔ + k2π
Vậy phương trình có họ nghiệm:
x = 1 ± arccos⅔ + k2π (k ∈ Z)
b) cos3x = cos12o
⇔ 3x = ±12o + k360o (k ∈ Z)
⇔ x = 4o + k120o
Vậy phương trình có họ nghiệm:
x = 4o + k120o (k ∈ Z)
c) cos(3x/3 – π/4) = -½
⇔ cos(3x/3 – π/4) = cos(2π/3)
Vậy phương trình có hai họ nghiệm:
d) cos22x = ¼
Vậy phương trình có bốn họ nghiệm:
Câu 4:
Giải phương trình
Lời giải:
Điều kiện: sin2x ≠ 1
Ta có :
⇔ 2cos 2x = 0
⇔ cos 2x = 0
⇔ 2x = π/2 + kπ (k ∈ Z)
⇔ x = π/4 + kπ/2
Với k = 2n
⇒ x = π/4 + n.π
⇒sin2x = sin(π/2 + n.2π) = 1 ∀n (TMĐK)
Với k = 2n + 1
⇒ x = π/4 + (2n + 1)π/2 = 3π/4 + n.π
⇒sin2x = sin(3π/2 + n.2π) = -1 ∀n (khôngTMĐK)
Vậy phương trình có họ nghiệm: x = 3π/4 + n.π (n ∈ Z)
Câu 5:
Giải các phương trình sau:
a) tan(x – 15o) = √3/3 ; b) cot(3x – 1) = -√3 ;
c) cos2x tanx = 0 ; d) sin3x cotx = 0
Lời giải:
a) tan(x – 15o) = √3/3 (ĐK: x – 15 ≠ k.180o ∀ k ∈ Z)
⇔ x – 15o = 30o + k180o , k ∈ Z
⇔ x = 45o + k180o , k ∈ Z
Vậy phương trình có họ nghiệm: x = 45o + k180o (k ∈ Z)
b) cot(3x – 1) = -√3 (ĐK: 3x – 1 ≠ π/2 + k.π ∀ k ∈ Z)
⇔ cot(3x – 1) = cot(5π/6)
⇔ 3x – 1 = 5π/6 + kπ
⇔ x = 1/3 + 5π/18 + kπ/3
Mọi giá trị thuộc họ nghiệm đều thỏa mãn điều kiện xác định
Vậy phương trình có họ nghiệm: x = 1/3 + 5π/18 + kπ/3 k ∈ Z
c) cos2x tanx = 0
Vậy phương trình có họ nghiệm 
(k ∈ Z)
d) sin3x cotx = 0 (ĐK: x ≠ k.π với ∀ k ∈ Z)
Kết hợp với điều kiện ta được:
Vậy phương trình có họ nghiệm: 
Câu 6:
Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = tan(π/4 – x) và y = tan2x bằng nhau?
Lời giải:
Ta có: tan(π/4 – x) = tan2x
⇔ 2x = π/4 – x + kπ
⇔ 3x = π/4 + kπ
⇔ x = π/12 + kπ/3 (k ∈ Z)
Vậy với x = π/12 + kπ/3 thì tan(π/4 – x) = tan2x
Câu 7:
Giải các phương trình sau:
a) sin3x – cos5x = 0 ; b) tan3x tanx = 1 ;
Lời giải:
a) sin3x – cos5x = 0
⇔ cos5x = sin3x
⇔ sin(π/2 – 5x) = sin3x
Vậy phương trình có hai họ nghiệm: 
(k ∈ Z)
b) tan3x tanx = 1
(ĐK: 3x ≠ π/2 + k.π; x ≠ π/2 + k.π ∀ k ∈ Z)
⇔ tan3x = 1/tanx
⇔ tan3x = cotx
⇔ tan3x = tan(π/2 – x)
⇔ 3x = π/2 – x + kπ (k ∈ Z)
⇔ 4x = π/2 + kπ
⇔ x = π/8 + kπ
Các nghiệm thuộc họ nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình có họ nghiệm x = π/8 + kπ (k ∈ Z).
Đó là tóm tắt kiến thức và hướng dẫn giải toán lớp 11 bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản, các bạn có thể tham khảo. Đừng quên xem thêm các bài giải toán khác tại chuyên mục : Toán Học lớp 11.
We on social :